Abstracts

Addy Margarita Bolívar Cimé (Universidad Juárez Autónoma de Tabasco)

Teoría de matrices aleatorias en el estudio de la matriz de covarianza de datos de dimensión alta

Los datos multivariados de dimensión alta aparecen en diversos campos, algunos de ellos son genética, análisis funcional, finanzas, análisis de imágenes médicas, climatología, reconocimiento de texto, entre otros. Cabe mencionar que en el contexto de datos de dimensión alta la estimación de la matriz de covarianza poblacional no es un problema fácil, ya que se tienen que estimar muchos parámetros con pocos datos, por lo que la estimación de esta matriz y pruebas de hipótesis acerca de ella requieren técnicas estadísticas diferentes a las del caso clásico, donde el tamaño de la muestra es mayor que la dimensión de los datos. En esta plática se muestra cómo la Teoría de matrices aleatorias contribuye al estudio de la matriz de covarianza de datos de dimensión alta, así como también proporciona técnicas para llevar a cabo pruebas de esfericidad en el contexto de datos gaussianos de dimensión alta.

Tulio Gaxiola Leyva (Universidad Autónoma de Sinaloa)

Caminatas cuánticas en gráficas

En esta plática se introducirán las caminatas cuánticas, las cuales son la generalización cuántica de las caminatas aleatorias. Presentaremos algunas diferencias entre las caminatas cuánticas y las caminatas aleatorias. Hablaremos también de las propiedades de las caminatas cuánticas en gráficas. Finalmente, expondremos el fenómeno de localización y de cómo se presenta en unas gráficas infinitas particulares llamadas spidernets, para lo cual usaremos el método de descomposición cuántica para el análisis espectral de gráficas.

José Luis Pérez Garmendia (Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.)

Universality classes for general random matrix flows

We consider matrix-valued processes described as solutions to stochastic differential equations of very general form. We study the family of the empirical measure-valued processes constructed from the corresponding eigenvalues. We show that the family indexed by the size of the matrix is tight under very mild assumptions on the coefficients of the initial SDE. We characterize the limiting distributions of its subsequences as solutions to an integral equation. We use this result to study some universality classes of random matrix flows. These generalize the classical results related to Dyson Brownian motion and squared Bessel particle systems. We study some new phenomenons as the existence of the generalized Marchenko-Pastur distributions supported on the real line. We also introduce universality classes related to generalized geometric matrix Brownian motions and Jacobi processes. Finally we study, under some conditions, the convergence of the empirical measure-valued process of eigenvalues associated to matrix follows to the law of a free diffusion.

Ricardo Guerrero Rodríguez (Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.)

Free Multiplicative Convolution with Applications

This talk will be about general and known aspects of the free multiplicative convolution. We will begin with its definition and some properties. Later we will present some different methods and tools to calculate free multiplicative convolution such as cumulants, S-transform and subordination. After this we will present a recent application to randomized linear regression given by Dobriban and Liu. We will show a different derivation of their result using the S-transform.

Camille Male (Institut de Mathématiques de Bordeaux - CNRS)

Notions of independence and random matrices

I will discuss some applications of the notion of traffic independence for large random matrices, a concept that generalize Voiculescu's notion of free independence and more generally the classical notions of non commutative independence. I introduced this notion in the early at the beginning of the current decade in order to describe the limiting distribution of permutation invariant random matrices. From its commencement, traffic probability has been an abstract theory whose result were limited to combinatorial descriptions of non commutative distributions. Recently a breakthrough was made by connecting the notion of traffic independence with the notion of freeness over amalgamation over the diagonal. This yields new numerical methods to compute limiting eigenvalues distributions, to locate spikes in certain deformed model of GUE matrices with a variance profile and estimate the global fluctuations of certain Wigner and deterministic matrices.

Alain Rouault (Laboratoire de Mathématiques de Versailles, CNRS)

Large deviations and sumrules

In the paradigm of random matrices, one of the most classical objects is the empirical spectral distribution. In this talk,we will consider large deviations for another popular object built on Hermitian or unitary random matrices: the spectral measure in the direction of a vector. This measure is a random weighted version of the empirical spectral distribution, the weights involving the eigenvectors of the random matrix. It may also be encoded by the (random) coefficients of the recursion ruling the orthogonal polynomials. In classical ensembles, the two rate functions of large deviations attached to these two encodings have remarkable forms. This leads, by pure probabilistic methods, to deterministic identities called "sum rules" in spectral theory. A sum rule is a relationship between the reversed Kullback-Leibler divergence of a positive measure with respect to a reference measure and some non-linear functional built on its recursion coefficients. In this way, we are able to recover Szego's theorem (1936) and Killip-Simon theorem (2003) and we establish new sum rules, in particular related to the Marchenko-Pastur and Kesten-McKay distributions. (Joint work with F. Gamboa and J. Nagel).

Francisco Torres Ayala (Facultad de Ciencias - UNAM)

Producto condicionado de espacios de Hilbert y tipos de Independencia

Dentro del marco de la Teoría de Probabilidad no Conmutativa la charla discute los tipos de independencia libre, booleana, monótona y ortogonal y su relación con distintos tipos de productos de espacios de Hilbert, los cuales sirven como espacio base para proporcionar representaciones de dichas independencias vía operadores acotados. Nuestra aportación consiste en introducir el producto condicionado de pares de espacios de Hilbert, el cual engloba los productos de espacios de Hilbert asociados a los tipos de independencia antes mencionados. Trabajo conjunto con Octavio Arizmendi, CIMAT.